「CF1354C2」Not So Simple Polygon Embedding

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写在前面

比赛时思路对了，代码挂了（

我真是个人才。

题意

给定 $n(n\in\{2k+1\mid k\in\mathbb N^*\})$，求能包括正 $2n$ 边形的正方形的最小边长。

思路

先求出这个多边形的直径，为 $\large\frac1{\sin\frac{180^\circ}{2n}}$。

然后我们看看两个例子。

正六边形

容易看出，$\angle OAX=\angle AYO+\angle AOY=45^\circ+30^\circ=75^\circ$。

$\angle AOY$ 是怎么得出的呢，它是 $\large\frac{\frac{360^\circ}6}2$，即 $\frac{180^\circ}{2n}$。

正方形边长即为 $DH=AD\cdot\sin\angle OAX$。

正十边形

同理：

$\begin{aligned} \angle OAX&=\angle AYO+\angle AOY=45^\circ+36^\circ=81^\circ\\ \angle AOY&=\frac{2\cdot\frac{360^\circ}{10}}2=\frac{2\cdot180^\circ}{2n}\\ FH&=AF\cdot\sin\angle OAX \end{aligned}$

正 2n 边形

它的最小包括正方形的边长为：

$\frac1{\sin\frac{180^\circ}{2n}}\cdot\sin(\frac{\lfloor\frac n2\rfloor\cdot180^\circ}{2n}+45^\circ)$

实现

C++ cmath 库中的三角函数是弧度制的，所以答案为 $\large\frac{\sin(\frac{\lfloor\frac n2\rfloor\cdot\pi}{2n}+\frac\pi4)}{\sin\frac\pi{2n}}$。

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
int t,n;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        scanf("%d",&n);
        printf("%.8lf\n",sin(pi*(n/2)/n/2+pi/4)/sin(pi/n/2));
    }
    return 0;
}