Early's Blog

Hello, World!

0%

「2018夏令营提高组」互质

发表于 分类于
本文字数： 2.1k

题目链接

题意

求 1−n!1-n! 的数中与 m!m! 互质的数的个数 (m≤n)(m\leq n)，对质数 RR 取模。

n,m≤107,R≤109+10n,m\leq10^7,R\leq10^9+10

思路

因为 m≤nm\leq n，所以 m!∣n!m!\mid n!。

若 x,m!x,m! 互质，则 (x+k⋅m!),m! (k∈N∗)(x+k\cdot m!),m!\ (k\in\mathbb N^*) 互质。

每找到一个与 mm 互质的数 x(x<m!)x(x<m!)，我们就在 n!n! 范围内找到了 n!m!\frac{n!}{m!} 个与 mm 互质的数。

答案即为 n!m!⋅φ(m!)\frac{n!}{m!}\cdot\varphi(m!)，将其展开得：

将其展开得：

n!m!⋅φ(m!)=n!m!⋅m!⋅(1−1pri1)(1−1pri2)⋯(1−1prik)=n!⋅∏i=1prii≤mprii−1prii\begin{aligned} \frac{n!}{m!}\cdot\varphi(m!)&=\frac{n!}{m!}\cdot m!\cdot(1-\frac1{pri_1})(1-\frac1{pri_2})\cdots(1-\frac1{pri_k})\\ &=n!\cdot\prod_{i=1}^{pri_i\leq m}\frac{pri_i-1}{pri_i} \end{aligned}

其中 pri1−prikpri_1-pri_k 为 m!m! 的质因数，恰好为小于等于 mm 的质数。

实现

预处理出质数，阶乘。

线性处理出 1−m1-m 的逆元。

即可 O(1)O(1) 回答每次询问。

注意：当 n≥Rn\geq R 时，n!≡0(modR)n!\equiv0\pmod R。

考虑答案中含有的质因数 RR 数目，若 n!n! 中含有的 RR 数目大于 11，或 n!n! 含有 RR 数目为 11 且 m<Rm<R，结果为 00。

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=10000000;
int t,mod,n,m;
long long fac[maxn+1],inv[maxn+1],res[maxn+1];
bool pri[maxn+1];
int main()
{
    freopen("prime.in","r",stdin);
    freopen("prime.out","w",stdout);
    pri[2]=1;
    for(int i=3;i<maxn;i+=2) {
        pri[i]=1,pri[i+1]=0;
    }
    for(int i=3;i*i<=maxn;++i) {
        if(pri[i]) {
            for(int j=(i<<1)+i;j<=maxn;j+=i<<1) {
                pri[j]=0;
            }
        }
    }
    scanf("%d%d",&t,&mod);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;++i) {
        fac[i]=i%mod?fac[i-1]*i%mod:fac[i-1];
    }
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;(i<=maxn)&&(i<mod);++i) {
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    res[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;++i) {
        res[i]=pri[i]?(res[i-1]*(i-1)%mod*inv[i%mod]%mod):res[i-1];
    }
    while(t--) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",(n>=mod<<1)||((n>=mod)&&(m<mod))?0ll:fac[n]*res[m]%mod);
    }
    return 0;
}